圆周率日：探索数学中最重要常数的神秘之旅

作者 [遇见数学翻译小组] 核心成员：王域丁

3 月 14 日是圆周率日。每年的这一天，很多全世界的数学爱好者都会烘烤各种口味的馅饼(pie)以此来庆祝数学中最具代表性的无理数： 。毕竟 3.14 是一年之中纪念数学中这个最重要常数的最佳时刻。

圆周率( 或 Pi)是一个圆的周长与直径的比值。它作为无理数，它不能被表示为两个整数的分数，而是一个无穷无尽、永不重复的数。

圆的周长略大于其直径的三倍长。精确的比例称为 。

但是这个无理数是如何被发现的？经过人们几千年的研究，这个数字还有其他什么秘密等待人们的探索呢？从这个常数的古老起源，到它未知的神秘性质，本文简单描述了关于圆周率 的 10 个令人惊异的事实。

背诵 数位的那些记录

据吉尼斯世界纪录记载，圆周率最多的记录属于印度韦洛尔的拉杰维尔·米纳，他在 2015 年 3 月 21 日花费了 9 小时 27 分钟内背诵了 7 万个圆周率的小数位。而此前的记录保持者，根据吉尼斯世界纪录，中国赵璐曾在 2005 年背诵到第 67890 位。

据英国《卫报》报道，还有一位非官方记录保持者，日本千叶县的原口证，他在 2005 年录制了自己背诵圆周率小数点后 10 万位的视频，最近更是突破了 11.7 万位。

全球的数字爱好者们为了记住 的更多数位，会使用一些辅助记忆技巧手段，如被称为“ 学”的记忆技巧来辅助记忆。

“ 山巅一寺一壶酒（3.14159），尔乐苦煞吾（26535），把酒吃（897），酒杀尔（932），杀不死（384），乐尔乐（626）。”

而国外数学爱好者则用 语来书写诗篇（每个单词中的字母数对应一个 的数位），比如这段 文诗的节选：

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. Now I fall, a tired suburbian in liquid under the trees, Drifting alongside forests simmering red in the twilight over Europe. （诗译：一堆量子力学讲座后，我想喝点什么，比如来点酒， 我跌倒在树下，一个疲惫酒醉的乡下人， 漂流在红树林旁，欧洲的暮色中。） （“How”单词有三个字符，“I”有一个，“want”有四个，依此类推。）

圆周率文字学的诞生

文学爱好者们发明了一种“ 语”，或者叫做圆周率文字学(Piphilology)，这种语言类似上面记忆数位的技巧，连续单词中的字符个数与 数位一致。例如，迈克·基思（Mike Keith）的《Not A Wake》书中（2010 年，Vinculum Press 出版社）完全是用 语写成的：

Now I fall, a tired suburbian in liquid under the trees, Drifting alongside forests simmering red in the twilight over Europe.

可以利用这种方式来背诵 ，当然记忆大巨长的 的数位值时显然是欠缺效率，那些记录创造者通常会采用记忆数字规律或其他方法来完成他们的目标。

人类认识 的程度呈指数增长

▲ π 的近似值记录时间轴图, 注意垂直坐标使用了对数坐标。( 图自维基)

圆周率是一个无限不循环小数，根据定义，人类永远也没法确定圆周率的所有位数。但是自 使用以来，数学家计算出来的小数位数确呈指数增长。

最早有记载的对圆周率估值在古埃及和巴比伦，考古学家发现一块公元前 1900 年到公元前 1680 年间的巴比伦泥板上暗示出圆周率为 ，而公元前 1650 年，埃及的著名数学文献之一的莱因德数学纸草书上还有对 的计算，记录其值约为 。

▲ 莱因德数学纸草书是最具代表性的古埃及数学原始文献之一

在《圣经》中对于 的近似值也这样描述过："他又铸一个铜海，样式是圆的，高五肘，径十肘，围三十肘。" 其中肘就是用来估计 值的一个古老的长度单位，一肘相当于从手肘到中指尖的长度（估计大约 46 厘米）。

希腊数学家阿基米德（公元前 28—212 年）用圆内接多边形和相似圆外切多边形，当边数足够大时，两多边形的周长便一个由上，一个由下的趋近于圆周长。他先用六边形，以后逐次加倍边数，到了九十六边形，阿基米德计算出其面积，并且指出圆周率的值在 。

公元 480年，南朝宋数学家祖冲之用几何方法割圆术将圆周率计算到小数点后 6 位数字。这个记录直到 15 世纪，才由阿拉伯数学家卡西求得小数点后 16 位精确值后才被打破。而后 1719 年，法国数学家托马斯·范泰德·拉尼计算出了 127 位小数，但遗憾是只有 112 位是正确的。

而计算机的诞生，更是飞速提升了人类对 精度的认知。 当数学家发现新的算法、电脑变得普及时，π的已知小数位急剧增加(如上面图形所示)。

根据《圆周率的历史》，1949 年至 1967 年间，圆周率的已知小数位数从 2037 猛增至巴黎 ENIAC 型计算机 CDC6600 得出的 50 万。而在 2019 年圆周率日那天，谷歌工程师利用云计算更是计算到小数点后 31.4 万亿位，刷新了一项新的世界记录。

计算圆周率的方法

可以用最原始的方法计算圆周率，可以用一把尺子、一个圆罐和一根细绳、或者用一把圆规和一支铅笔来完成这项任务。用罐头法的缺点也很明显，首先我们需要是一个完美的圆形，还有能否准确围绕其周长绕一圈绳子也将直接影响其精确度。同样，用圆规画个圆，然后用尺子测量其直径或半径，也对准确和精度也需要较高挑战。

当然，更精确的计算圆周率的方法是使用几何算法，比如上面提到的阿基米德和祖冲之。值得一提的是割圆术是由公元 265 年，三国时代魏国数学家刘徽创立了。把一个圆分成多个部分（就像八片或十片切开的披萨一样）。然后，计算一条直线的长度，这条直线将把切片变成有两边相等的等腰三角形。加上所有的边对 产生粗略的近似。当分割的片段越多，对 的逼近就越精确。祖冲之就是用割圆术计算了了 12288 形的编程，得到了 ，即 ，保持了 800 年准确度最高的记录。

而使用多边形算法最准确的结果是计算到小数点后 38 位，是由奥地利天文学家克里斯托夫·格林伯格完成。再往后 的计算开始改用无穷级数的计算方式进行，这样可以得到比几何方法更为准确的结果。

符号的诞生

▲ 图自维基

在把符号 专指圆周率之前，数学家们不得不说一句话或者一长串数值来代表它。据考古学家对古书的研究，在一本书中发现了一个拉丁短语“quantitas in quam cum multiflicetur diameter, proveniet circumferencia”，意指“乘以直径可以等于周长的定量”，用来指代圆周率 了。

最早用 来表示圆周与直径比例是在威尔士数学家威廉·琼斯（William Jones）的书中，他在 1706 年出版的《新数学导论》一书中使用了希腊字母 代指圆周率。琼斯选用了 的原因可能是因为它是希腊文中“周边”一词“περιφέρεια”的第一个字。

而真正将 介绍个数学界的是伟大的瑞士数学家欧拉。他在解决巴塞尔问题的时候，得到了一个奇妙的结论。

巴塞尔问题是一个著名的数论问题，就是计算所有平方数的倒数和的准确值是什么，这个问题难倒了之前的数学家。但在 1735 年，但是 28 岁的欧拉就找到了答案，并在 1741 年给出了真正严格的证明。

在 1736 年，欧拉在他的新书《力学》里使用到的 这个符号，并且由于他频繁会与欧洲各国数学家通信往来讨论数学问题，其他数学家就纷纷接受这种用法。并且在 1748 年《无穷小分析引论》书中再次介绍 用法：“为了简洁起见，我们将半径为 1 的圆周长的一半写为 。”这一表示方法就将 指代为圆周率传播开来，推广到整个世界。

是正规数吗？

尽管数学家已经揭开了这个无理数的许多谜团，但仍然有一些问题还等着人们进一步探索。比如，无穷无尽的 如此神秘，它属于正规数(Normal Number)吗？

截止目前为止，数学家仍然不知道圆周率是否属于所谓的正规数(即所有数字出现频率相同的数)，或者说这个数字中的 0 到 9 出现的概率是不是平均为 10%，而两位数值的任何组合(比如"36")也平均为 1% 的概率出现。在 arXiv 杂志 2016 年 11 月 30 日出版的预印本上，作者 Peter Trueb 计算出这样的结论：至少根据前 2.24 万亿的数字，数字 0 到 9 的频率表明 是正规数。这样基于实验证据，数学家猜想它很可能是正规数。当然考虑到 有无穷多个数字，唯一能证明这一点的方法就是给出严格的数学证明。

数学家们还在为此而努力，希望找到这个最著名无理数 ，以及另外一些无理数 、 、 的证明，尽管他们已经对其数字的性质和分布取得了一些成果。

超越数

虽然数学家暂时还不知道圆周率是否正规数，但他们对圆周率的其他特性以已经有所了解。

18 世纪的数学家约翰·海因里希·兰伯特（Johann Heinrich Lambert）利用 的无穷连分数表达式证明了 是超越数(Transcendental number)。

后来，数学家证明 也是超越数的。在数学术语中，超越数意味着这个数不能是任何有理数系数多项式的根。换句话说没有一个有限的、求根公式可以用有理数来计算出 。

而超越数的证明，其实解决了几千年来数学上关于尺规作图三大难题，即倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题。随着超越数的发现，这三大问题被证明为不可能。

的危机

虽然许多数学爱好者对 很感兴趣，但另一种意见正在滋长。有人认为 是一个派生出来的常量，而 （等于 ）其实是一个更直观好用的无理数。

▲ 图自 taoday 网站

《Tau 宣言》一书的作者迈克尔·哈特尔认为用 能将很多数学、物理上的公式简化，使得变得更加优雅。比如，用 能直接将周长与半径联系起来，而半径在数学上是一个更为重要的概念。

当然， 在三角计算中也有简化的效果，例如， 弧度对应于刚好扫过四分之一圆的角度(见上面图像)。

在国际数学日庆祝 日！

1988 年，物理学家赖瑞·萧在旧金山探险家科学博物馆举办了首次圆周率日派对，这就是最早大规模的 Pi Day 庆祝活动。此后每年的这一天都会举行庆祝活动，那里的工作人员以及参加的游客们都举着 的某位数值在那里举行一次环形游行，当然免不了还要品尝下美味的馅饼。

▲ 赖瑞·萧及 Pi Day 的环形游行

▲ Google 曾不止一次在圆周率日推出过相应主题的涂鸦

在 2019 年联合国教科文组织第四十届大会上正式宣布每年的 3 月 14 日是“国际数学日”，相信在这个特殊的日子里开展纪念和庆祝活动会让更多学子欣赏数学，了解它在我们日常生活中的美丽，作为理解世界的运作和探索未来不可或缺的重要工具，而追求更精确的 值也永远在路上。(- End -)

参考资料:

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• 维基百科

Do Math数学公开课两讲